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t = ax2 + bx => Differentiate both side with respect to time (t) => dt/dt = 2ax.dx/dt + b.dx/dt => 1 = 2axv + bv => v.(2ax + b) = 1 => (2ax + b) = 1/v => Again differentiate both side with respect to time (t) => 2a.dx/dt = -v-2 . dv/dt => 2av = v-2 . acceleration => acceleration = -2av3
Let Car started from point A. It traveled for distance S with acceleration f. Assume that point is B AB = S .................... (i) Using v2 = u2 + 2as vb2 = 0 + 2fS vb2 = 2fS ..................... (ii) Next the car traveled for time t at contact speed till point C So, BC = vbt = (2fS)1/2t Then the car decelerated at f/2 and come to rest till point D Using v2 = u2 + 2as 0 = vb2 - 2.f/2.scd scd = vb2/f = 2S AB + BC + CD = 3S => S + (2fS)1/2t +2S = 15S => (2fS)1/2t = 12 S => 2fSt2 = 144 S2 => S = ft2/72
Acceleration = (change in velocity)/time change in velocity = Δv => Δv = v2-v1 => Δv2 = v22 + v12 - 2v1v2cos90° => Δv2 = v22 + v12 => Δv2 = 52 + 52 = 50 => Δv = 5 => Acceleration = Δv/ 10
First case when it takes time = t1 Horizontol velocity = vx1 Vertical velocity = vy1 Using formula: v=u+at in vertical direction vy1 = - vy1 + gt1 2vy1 = gt1 .................. (i) R = vx1t1 .................. (ii) vy12 + vx12 = v2 = (gt1/2)2 + (R/t1)2 ....................(iii) Second case when it takes time = t2 2vy2 = gt2 .................. (iv) R = vx2t2 .................. (v) vy22 + vx22 = v2 = (gt2/2)2 + (R/t2)2 ....................(vi) (iii) and (vi) are equal => (gt1/2)2 + (R/t1)2 = (gt2/2)2 + (R/t2)2 => (gt1/2)2 + (R/t1)2 + gR = (gt2/2)2 + (R/t2)2 + gR => gt1/2 + R/t1 = gt2/2 + R/t2 => (g/2)(t1-t2) = R(t1-t2)/(t1t2) => t1t2 = 2R/g => So, t1t2 is proportional to R
Centripetal force on the particle having circular motion = mω2r. Anular velocity of all the paricles on the ring is same. Force on outer particle = F1 = mω2R1. Force on outer particle = F2 = mω2R2. So, F1/F2 = R1/R2
On the smooth surface force acting on the block in incline direction = F1 F1 = mgsin45° Time require to travel distance n = t1 Using formula : s = ut + 1/2 at2 d = 1/2 . gsin45° . t12 ...................(i) On the rough surface force acting on the block in incline direction = F2 F2 = mgsin45° - f , where f=frictional force f = μkmgcos45° , where μk = coefficient of friction F2 = mgsin45° - μmgcos45° Time require to travel distance n = t2 d = 1/2 . (gsin45° - μk gcos45°) . t22 ..........(ii) cos45° = cos45° Divising (ii) and (i) 1 = [(1-μk)t12]/[t22] We know that: t1/t1 = 1 So, 1 = (1-μk)n2 => μk = 1 - 1/n2
Let mass of the block = M Frictional force in incline plane with inclination Φ = μMgcosΦ Force due to gravity in the incline plane = MgsinΦ So acceleration in smooth plane = gsinΦ Retardation in rough plane = μgcosΦ - gsinΦ The block will come to rest if acceleration = retardation gsinΦ = μgcosΦ - gsinΦ => μ = 2tanΦ
Suppose velocity of the bullet is 2y at the time of penetrating the wall So velocity of the bullet at distance 3cm will be = y Using, v2 = u2 + 2as => u2 = 4u2 + 6a => a = -u2/2 Let the bullet further penetrate a distance = x Using, v2 = u2 + 2as 0 = u2 - 2.u2/2.x => x = 1
Let the velocity of the parachutist after 50 m = y Using, v2 = u2 + 2as y2 = 2gs = 2 × 9.81 × 50 Suppose he bailed out at height = h Using, v2 = u2 + 2as 9 = y2 - 2 × 2 × (h-50) => 2 × 9.81 × 50 - 9 = 4(h-50) => 4(h-50) = 981 - 9 = 972 => h = 243 + 50 = 293
Let the velocity of the body at the time of collision = v 1/2 Mv2 = 1/2 kL2 => M2v2 = MkL2 => Mv = momemtum =
Initial momemtum = final momentum Initial momemtum = mV = mVi Final velocity of mass1 m in i direction = Vx Final velocity of mass1 m in j direction = Vy Final momemtum of mass1 m = mVxi + mVyj Final momemtum of mass2 m = mv/ mvi = mVxi + mVyj + mv/ => mvxi + mVyj = mvi - mV/ => Vx = V => Vy = -V/ => Vfinal2 = 1+1/3 = 4/3 => Vfinal = 2 V /
Initial energy = Final energy Initial energy = mgh = 100mg Final energy = 1/2mv2 + mgh = 1/2mv2 + 20mg So, 100mg = 1/2mv2 + 20mg => v2 = 80g × 2 = 1600 => v = 40 m/s
If the incline surface is not moving then acceleration of the block in inclined plane direction = gsinα Suppose acceleration of the surface is "a" to keep the block stationary Due to acceleration of the surface, acceleration block = acosα In order to keep the block stationary : acosα = gsinα a = gtanα
Mass of semicircular disc = M Suppose there is a circular disc of mass 2M, then Moment of intertia of circular disc = 1/2(2M)R2 Moment of intertia of circular disc = 1/2(2M)R2 = MR2 => So, Moment of intertia of semi-circular disc = (1/2)MR2
The only force that acts on the body A is gravitational force. There is no force acting perpendicular to the gravitational force. So the center of the mass of B and C will not shift.
Let distance of P from C is = y P must be the center of mass of the T shaped object. Assume mass per unit length = 1 So, [Mab × (2l-y)] + [M(2l-y) × (2l-y)/2] = [My × y/2[ => l × (2l-y) + (2l-y) × (2l-y)/2 = y × y/2 => 4l2 - 2ly + (2l-y)2 = y2 => 8l2 -2ly - 4ly = 0 => 8l2 -6ly = 0 => y = 4l/3
Acceleration due to gravity at a depth 'd' from earth surface is :
Acceleration due to gravity at height 'h' from earth surface is : h is very much smaller than R
gh = gd By solving it , d=2h
Capillary action The height to which the liquid can be lifted is given by:
where, γ: liquid-air surface tension(T)(T=energy/area) θ: contact angle ρ: density of liquid g: acceleration due to gravity r: is radius of tube When entire arrangement is freely falling then relative acceleration = 0 So, Water will rise to the full length of capillary tube i.e. 20cm
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